四川大学2020年数学考研试题

2021年川大数学考研真题答案及解析

2021年的川大数学考研真题分为两套卷子，分别为试卷A和试卷B。以下是两套试卷的详细解答及解析。

试卷A：

一、选择题

1. B

2. C

3. D

4. C

5. D

6. D

7. A

8. D

9. A

10. A

二、填空题

11. 6

12. 6

13. 12

14. ln2

15. 2

三、解答题

(1)

解:设$z=x yi$，则对数函数为$f(z)=\ln(z 1)=\ln(x 1 yi)$

$$

\begin{aligned}

f^{(n)}(z)&=(1)^{n1}(n1)!\frac{1}{(z 1)^n}\\

f^{(n)}(1)&=(1)^{n1}(n1)!\frac{1}{(0)^n}=0\quad (n\geq 1)

\end{aligned}

$$

显然，$f(z)$在$z=1$处的$n$阶Taylor展开式为：

$$

f(z)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(z 1)^k=\frac{(1)^{n1}}{n}(z 1)^n R_n(z)

$$

其中$R_n(z)$为$n 1$次Lagrange余项。故：

$$

\begin{aligned}

|f(z)\frac{(1)^{n1}}{n}(z 1)^n|&=|R_n(z)|\\

&=\frac{f^{(n 1)}(\xi)}{(n 1)!}|z 1|^{n 1}\quad (\xi \in [1,x 1])\\

&\leq\frac{M}{(n 1)!}|z 1|^{n 1}

\end{aligned}

$$

其中$M$为$f^{(n 1)}(x 1)$的上界。因此，

$$

|f(z)\frac{(1)^{n1}}{n}(z 1)^n|\leq\frac{M}{(n 1)!}|z 1|^{n 1}

$$

当$|z 1|\leq\frac{1}{2}$时，有

$$

\begin{aligned}

|f(z)\frac{(1)^{n1}}{n}(z 1)^n|&\leq\frac{M}{(n 1)!}|z 1|^{n 1}\\

&\leq\frac{M}{2^{n 1}(n 1)!}

\end{aligned}

$$

因此，当$n=10$时，

$$

\begin{aligned}

|f(z)\frac{(1)^{9}}{10}(z 1)^{10}|&\leq\frac{M}{2^{11}(11)!}\\

&\leq 0.001

\end{aligned}

$$

答案：$\frac{(1)^{9}}{10}(z 1)^{10}$

(2)

解：先考虑一维情况。设$P_n(x)=a_nx^n \cdots a_0$，其中$a_n=2^n$

则由勒让德方程得到$P''_n(x)\frac{2n 1}{x^2}P_n(x) n(n 1)P_n(x)=0$

因此，我们有

$$

\begin{aligned}

P''_0(x)\frac{1}{x^2}P_0(x)&=0\\

P''_1(x)\frac{3}{x^2}P_1(x) 2P_1(x)&=0\\

P''_2(x)\frac{5}{x^2}P_2(x) 6P_2(x)&=0\\

\cdots

\end{aligned}

$$

设$y_n(x)=P_n(x)e^{x^2/2}$

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